אברהם אשכנזי נולד בסלוניקי, יוון, בשנת 1939 למשפחה מסורתית ואמידה. אביו של אברהם היה בעל מפעל לעיבוד עורות וסבו היה בעל חנות מכולת סיטונאית. באפריל 1941, עם פלישת הגרמנים ליוון, הופצצה העיר והמשפחה הסתתרה במרתף של חנות במרכז העיר. לאחר שכבשו הגרמנים את העיר שבה המשפחה לביתה וניסתה להמשיך בשגרת החיים, אך בתחילת 1943 נאלצה לברוח כיוון שנודע על פקודת הגירוש. האב זכר כיצד ביולי 1942, יחד עם כ-9,000 גברים יהודים אחרים בני 45-18, הוא הושפל על ידי הגרמנים באחת הכיכרות המרכזיות של העיר, במה שנודע אחר כך בתור "השבת השחורה". האב ראה את הנולד והכריז: "אנחנו לא נרשמים למשלוח לפולין, אנחנו בורחים!". "זו הייתה הגדולה שלו, ועל זה אני מעריץ אותו עד היום", מספר אברהם.

בני המשפחה – אברהם, אביו, אמו, סבו ואחי-אביו – השיגו תעודות מזויפות בעזרת ידידים יוונים. בעזרת התעודות המזויפות החלו בני המשפחה להתחזות לנוצרים והצליחו לעבור לאזור הכיבוש האיטלקי של יוון. הם הגיעו ללאריסה ולאחר מכן – לאתונה, בה עבדו במפעל לעורות שהקים האב. בהמשך שהותה באתונה נאלצה המשפחה לעבור ממשכן למשכן ולשחד קציני משטרה יווניים, עקב הלשנות וחשש מפני הסגרה. גם כאשר אולצו להתייצב לחקירת משטרה, הצליחו בני המשפחה לשכנע את חוקריהם כי הם נוצרים. הם אף היו הולכים כל יום א' לכנסיה ואברהם זוכר כיצד כילד היה מעיר את הוריו בכל יום א' על מנת שייקחוהו לכנסיה.

בעזרת המחתרת היוונית נמלטה המשפחה מיוון בסירת דייג, בחברת כ-40 פליטים נוספים. לאחר הפלגה דרך האיים בסירה הרעועה הגיעה המשפחה לתורכיה. חיילים תורכים תפסו אותם בשעה חמש בבוקר, רעבים וצמאים, חקרו אותם, נתנו להם לחם והלינו אותם באולם בית-ספר. מתורכיה עברה המשפחה לסוריה, שם נפגשה עם אנשי ההגנה והחליטה לעלות לארץ ישראל. בשנת 1944 עלתה המשפחה על רכבת והגיעה לארץ ישראל דרך לבנון.

בארץ התגורר אברהם בתל אביב. בבגרותו עסק בשיווק ובמכירות וכיום הוא אדמיניסטרטור בחברת שירות ושיווק.

אברהם נשוי ליפה, ולהם שני ילדים וחמישה נכדים.